棱台体积公式 体积公式推导

　　四棱台体积计算公式：1、[S上+S下+√du(S上×S下)]*h/3（可以用于四棱锥）[上面面积+下面面积+根号dao下(上面面积×下面面积)]×高÷3。2、(S上+S下)*h/2（不能用于四棱锥）(上面面积+下面面积)x高÷2。注意：第2个最简便的公式可以把正方体当作四棱台验证，把四棱锥看成上面面积为0的四棱台，适用于第1个公式，但是四棱锥不能用第2个公式。

　　体积公式推导

　　由相似三角形可得b/h1=a/(h1+h2)，所以h1=bh2/(a-b).

　　V台=a^2(h1+h2)/3-b^2*h1/3

　　=h1(a^2-b^2)/3+h2*a^2/3

　　=(a+b)*b*h2/3+a^2*h2/3

　　=（a^2+b^2+ab）*h2/3

　　体积公式正四棱台V=H/3[S1+S2+√(S1S2)]。注：非通用公式，（s1是上底的面积，s2是下底的面积）

　　四棱锥的体积公式推导

　　在四棱锥上做一个与四棱锥B1-ABCD同底等高的四棱柱A1B1C1D1-ABCD出来，沿底面的对角线BD与棱锥的顶角B1所在的面把四棱锥切开，把四棱锥的问题转化成三棱锥的问题。

　　这时候，两个三棱柱与两个三棱锥都分别是等底等高。他们的体积是分别相

　　等的。若能证明三棱锥体积是1/3sh,即可证明四棱锥的体积计算公式1/3sh。

　　连接A D1之后，发现三棱柱是由三个三棱锥组成，只要证明这三个三棱锥B1-ABD,A-A1B1D1,A-D1B1D体积相等就可以了。

　　B1-ABD与A-A1B1D1等底等高，所以体积相等。

　　B1-ABD换个角度看其实就是A-B1BD，A-B1BD与A-D1B1D等底等高，所以体积相等。所以B1-ABD与A-D1B1D体积相等。

　　也就是说组成三棱柱的这三个三棱锥体积相等，所以三棱锥体积是1/3sh

　　所以四棱锥的体积计算公式1/3sh。

　　四棱锥的底面面积S加顶点A'面积0除以2的平均面积1/2S的一个四棱柱乘以高h，就是四棱锥体积：V=1/3（S+0）h=1/3Sh。