裂项相消是什么 裂项相消的例子

　　一、裂项相消是什么

　　裂项相消是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

　　二、裂项相消公式

　　(1)1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)]

　　(2)1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

　　(3)1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

　　(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

　　(5)n·n!=(n+1)!-n!

　　(6)1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

　　(7)1/[√n+√(n+1)]=√(n+1)-√n

　　(8)1/(√n+√n+k)=(1/k)·[√(n+k)-√n]

　　三、裂项相消的例子

　　[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

　　解：设 an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (裂项)

　　则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)(裂项求和)

　　= 1-1/(n+1)

　　= n/(n+1)

　　此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

　　四、注意事项

　　余下的项具有如下的特点

　　1余下的项前后的位置前后是对称的。

　　2余下的项前后的正负性是相反的。